割圓術到底能不能算出無限位數的 pi π呢......?

首先呢,我們要先知道圓形的一個公式

Here's the formula of a round.

其中,  r   是半徑
r is the radius of the round.


運用這個公式,我們可以求得在一個圓形上出現的所有座標
Using this formula, we can get all the positions of the round.




但是可想而知,如果圓上面,每個座標都要求到...

其實是有無限多個!


所以,我們就把顯示座標限制在 

     _____   _____
( √整數 , √整數   )


However, the number of the positions on the round...is infinite..
So, we just show the positions that are square roots of integers.
     _____      _____
( √Integer, √Integer  )

 


 如此一來,我們求的圓上面的座標,就有限定數量了

至於那個數量是多少呢...?


Therefore, the number of positions on round , is limited....
Then, how many are there?



拿一個半徑為√5   的圖形舉例.....
For example...


公式
 

 

 




從上面這張圖,我們可以知道
                             
在一個半徑為 √5    的圓形中 ,

我們最多只能在一個象限裡面,求到 5+1 個點 ,而且可以連成 5 個三角形

如果要考慮全部四個象限的話,就把這個數量乘以四...

我們一共可以得到 20 個三角形

From the grapic above,  we get 5+1 positions on the round, where radius is √5
and we  get 5 triangles.
Considering all 4  quadrants, there will be 20 triangles.




以此類推

如果半徑是√4,那麼就可以得到 16個三角形

如果半徑是 3  = √9,那麼就可以得到 36個三角形

這樣可以導出一個公式,闡明三角形數量 和 半徑的關係

So we get the relation of the radius and the number of triangles. ( n is the number of triangles.)

1195809630.gif
( n 是三角形的數量 )
                        __
也就是,當 √r    是整數,所有圓上的點,可以連成的三角形數量,就是 四倍  r  平方

 

 


 

 

Then, here comes a question.
Will the third side of triangle become zero in some circumstances?

接著,我們會想到一個問題

就是,會不會隨著三角形數量的變多

最後,標紅線的地方(等腰三角形第三邊),長度趨近於 0

這樣,就可以得到一個真正的圓了

因此,我們來求三角形數量 和 標紅線 長度 的關係



我們發現到,這個紅線的長度,居然是有規律的,而且可以化簡成

We found the length of the red line can be expressed like..

( n 代表三角形總數量 )


這時候,你一定知道,這個公式可以再化簡

而且,還可以套入最上面那個公式,和 r 結合

那麼,總共就可以寫成這樣

We make it simpler and combine it with r.


由此,我們就可以輕鬆的,從給予的 半徑 和 三角形數

  
  但是.....用電腦去計算這個式子的結果...
However..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三角形數 紅線長度
4 1.414214..
8 1.082392..
24 1.022521..
100 1.005090..
1000 1.000501..
10000 1.000050..
20000 1.000025..
40000 1.000013..
160000 1.000003..
Triangles Length of red line

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


畫成圖形,變成這樣...


( X 軸是三角形數量,Y軸是紅線的長度 )

也就是說,到了最後,那個紅線的長度會  趨近於1
When there are more triangles, the length of the red line will be more approximate to "1"

用數學式來表示就是


所以,無論三角形放了多少個

我們永遠沒辦法得到一個 三角形 第三邊 為 0 的 三角形

換句話說

無論圓割得多細,永遠會有三角形 的第三邊長  > 1

所以

從這個角度看來

我們無論把圓割得多細

也沒有辦法  「完全等於那個圓」

因此,想要用割圓術 來取得一個無限位數的 圓周率

幾乎是不可能的事情!!

According to the formula above.
Since the length of the red line will be at least "1".
Rarely can we get a real pi by cutting the circle into triangles.

 

 


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