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割圓術到底能不能算出無限位數的 pi π呢......?

首先呢，我們要先知道圓形的一個公式

Here's the formula of a round.

其中，  r   是半徑
r is the radius of the round.


運用這個公式，我們可以求得在一個圓形上出現的所有座標
Using this formula, we can get all the positions of the round.



但是可想而知，如果圓上面，每個座標都要求到...

其實是有無限多個！

所以，我們就把顯示座標限制在 

     _____   _____
( √整數 , √整數   )

However, the number of the positions on the round...is infinite..
So, we just show the positions that are square roots of integers.
     _____      _____
( √Integer, √Integer  )

 如此一來，我們求的圓上面的座標，就有限定數量了

至於那個數量是多少呢...?

Therefore, the number of positions on round , is limited....
Then, how many are there?


拿一個半徑為√5   的圖形舉例.....
For example...

公式
 

從上面這張圖，我們可以知道
                             
在一個半徑為 √5    的圓形中 ，

我們最多只能在一個象限裡面，求到 5+1 個點 ，而且可以連成 5 個三角形

如果要考慮全部四個象限的話，就把這個數量乘以四...

我們一共可以得到 20 個三角形

From the grapic above,  we get 5+1 positions on the round, where radius is √5
and we  get 5 triangles.
Considering all 4  quadrants, there will be 20 triangles.




以此類推

如果半徑是√4，那麼就可以得到 16個三角形

如果半徑是 3  = √9，那麼就可以得到 36個三角形

這樣可以導出一個公式，闡明三角形數量 和 半徑的關係

So we get the relation of the radius and the number of triangles. ( n is the number of triangles.)


( n 是三角形的數量 )
                        __
也就是，當 √r    是整數，所有圓上的點，可以連成的三角形數量，就是 四倍  r  平方

Then, here comes a question.
Will the third side of triangle become zero in some circumstances?

接著，我們會想到一個問題

就是，會不會隨著三角形數量的變多

最後，標紅線的地方(等腰三角形第三邊)，長度趨近於 0

這樣，就可以得到一個真正的圓了

因此，我們來求三角形數量 和 標紅線 長度 的關係



我們發現到，這個紅線的長度，居然是有規律的，而且可以化簡成

We found the length of the red line can be expressed like..

( n 代表三角形總數量 )


這時候，你一定知道，這個公式可以再化簡

而且，還可以套入最上面那個公式，和 r 結合

那麼，總共就可以寫成這樣

We make it simpler and combine it with r.


由此，我們就可以輕鬆的，從給予的 半徑 和 三角形數

  
  但是.....用電腦去計算這個式子的結果...
However..

畫成圖形，變成這樣...


( X 軸是三角形數量，Y軸是紅線的長度 )

也就是說，到了最後，那個紅線的長度會  趨近於1
When there are more triangles, the length of the red line will be more approximate to "1"

用數學式來表示就是


所以，無論三角形放了多少個

我們永遠沒辦法得到一個 三角形 第三邊 為 0 的 三角形

換句話說

無論圓割得多細，永遠會有三角形 的第三邊長  > 1

所以

從這個角度看來

我們無論把圓割得多細

也沒有辦法  「完全等於那個圓」

因此，想要用割圓術 來取得一個無限位數的 圓周率

幾乎是不可能的事情！！

According to the formula above.
Since the length of the red line will be at least "1".
Rarely can we get a real pi by cutting the circle into triangles.